janka-x
Некоторые говорят о её виртуальности. Но чем больше в ней работаешь, тем более реальной она воспринимается. Без неё нам неуютно в дебрях школьной рутины. МЛУ – это система программных средств, делающая жизнь более комфортной и дополненной особыми эмоциями. Приятно же видеть как на экране проектора твои домашние заготовки выглядят гораздо интереснее, чем банальная в своей примитивности школьная доска. Впрочем, пора последнюю менять на интерактивную. Здесь вы можете познакомиться с мастером ИД и познакомиться с её творчеством. По сути, у каждого из нас МЛУ своя, со своим личностным наполнением. Рынок программных продуктов по математике становится всё богаче. Всё, даже самое интересное, не купишь, не узнаешь. Поэтому приходится выбирать самое-самое, что по карману и удобно в работе.
Вы готовитесь к занятию по геометрии, вам надо подготовить чертёж и вывести его на проектор. Что выбрать? Смею утверждать, что Power Point – малопригодный для этой цели выбор. Картинки там делаются красивые, но в них мало математики и они статические, так как нет возможности для «вмешательства» - собственного эксперимента с последующим исследованием. Поэтому динамическая геометрия в лице Живой Математики или GeoGebra – лучшее, что вам подойдёт. Оба пакета всем доступны и достаточно популярны. GG cкоро дополнится 3D-компонентом и тогда цены ей не будет.
2.74 КБВпрочем, всё зависит от решаемых задач. Если мне надо, скажем, продемонстрировать школьникам задачу Аполлония о построении окружности, касательной окружности к трём данным окружностям, то выбираю ЖМ, так как в ней необходимая для этой цели инверсия работает без досадных глюков, какие бывают у GG. На рис. показана одна из восьми возможных окружностей. Зато, когда хочешь сделать какой-то разветвлённый сценарий с динамическими эффектами, то GG может быть более подходящей. 4.07 КБ
Но когда вам понадобится найти с хорошим приближением корни уравнения, то быстрее и проще всего сделать это в GSP-5 (по-нашему, 5-й версии ЖМ, о том как её внедрить в ЖМ здесь писалось). Дело в том, что ни в предыдущих версиях GSP, ни даже в ГеоГебре нет удобной возможности находить точки пересечения графиков функций. Если найти приближённые корни уравнения g(x)=0, то строим график функции, мышкой кликаем по местам пересечения с осью абсцисс и находим нули. Вот и всё, никаких тебе сложных методов и, самое главное, без программирования, от которого нас отвратили в своё время непременным, а теперь архаичным "Паскалем".
Ну, а в задачах с параметрами динамическая геометрия открывает по-настоящему царский путь, если её тактично использовать. Она делает эту трудно усваиваемую тему наглядной и доступной для понимания. В этом Java-апплете демонстрируется одна из интерпретаций темы, выполненная в GG. Кстати, работу ЖМ в таком масштабе и действии в интернете не покажешь.5.19 КБ
У вас возникла идея обобщения задачи, гипотеза – динамические пакеты дают соответствующую технологию. Например, рассказывая детям о теореме Наполеона, вы решили рассмотреть аналогичную конфигурацию для 4-угольников. И тогда эксперимент укажет на интересные свойства. Одно из них видно на рисунке.
Многочисленные примеры того как рассматриваемые пакеты стимулируют составление новых задач, в том числе и тех, которые нужны будут на уроках, приводятся в моём блоге. Вот и ещё один интерактивный геометрический конструктор GInMA появился. Стереометрия здесь смотрится лучше, чем в ЖМ и GG.
Система тестирования, по категорически заострённому замечанию И. Шарыгина, уничтожает геометрию. Динамическая геометрия её возрождает, о чём и писал Игорь Фёдорович. В её среде древняя наука становится по-современному привлекательной. Школьник получает средства для полного погружения в свойства геометрических конфигураций и суть решаемых задач. А учитель приобрёл уникальную технологию для проведения с учениками лабораторных работ по математике.
Подробно описанную методику работы в Живой Математике можно скачать: файл 1, файл 2.

Алгебраические возможности GG и ЖМ всё же не достаточны для повседневных потребностей учителя математики. Для этого можно использовать один из наиболее мощных пакетов символьной математики Mathematica. Последняя версия 8, но я обхожусь 5-й – где там за всем угонишься. Mathematica привносит в вашу жизнь этакий аналитико-алгебраический комфорт. Со стандартными школьными алгоритмами справляется «одной левой». Если не заниматься программированием в ней (что, конечно же, допускается), в работе достаточно несложная. Заходишь в Help, смотришь приведённые примеры написания и действия команд и делаешь по аналогии себе необходимое. Приведу примеры часто используемых команд.

1.42 КБОстаток от деления 1-го числа на 2-е. Действия пользователя просты: записываем команду в строку и нажимаем Shift/Enter, внизу смотрим ответ. В задачах из теории чисел очень важная функция. Программа даёт возможность проводить разнообразные числовые эксперименты. Например, предложим своим ученикам доказать, что существует бесконечно много пар (х, у) целых чисел, для которых число 3х+5у делится без остатка на 7. С помощью данной команды находим несколько таких пар, формулируем гипотезу, проверяем её для других пар и доказываем методом математической индукции.
2.72 КБЗдесь написан небольшой алгоритм, для проверки одной гипотезы, о которой писал Мартин Гарднер в одной из своих книг. Дано число n. Если оно чётное, то разделим его на 2, а если нечётное - умножим на 3 и прибавим 1. Продолжим этот процесс неограниченно. Для каких n получается циклическая последовательность? Сколько я ни брал чисел, последовательность зацикливается на цифрах 4, 2, 1.
2.47 КБРазложение на простые множители. Причём, программа справляется с очень большими числами, например, 2111+1 считает мгновенно. Второе число указывает показатель степени, с которым первое число входит в разложение.
3.22 КБ Эта команда печатает таблицу остатков от деления числа ар-а на простой делитель р. Она мне понадобилась, чтобы подвести школьников к "открытию" малой теоремы Ферма. Число а здесь вводится вручную, но можно организовать и автоматический перебор значений.
2.07 КБ Наибольший общий делитель часто нужен учителю для составления примеров или для проверки ответов. Разумеется для НОК также есть команда.

3.30 КБ Эта команда выдаёт общую формулу для решения диофантовых уравнений. Хватит уже вручную гонять алгоритм Евклида!
2.83 КБMathematica неплохо справляется и с нелинейными уравнениями в целых числах, как видно из этого примера.

5.94 КБИнтересное исследование можно провести в 10-м классе по проблеме представимости целых чисел в виде суммы квадратов, если задаться вначале вопросом: сколько квадратов достаточно для таких представлений? Начать с уравнения n=x2+y2, потом с 3 квадратами и, наконец, с четырьмя. Приходим, таким образом, к теореме Лагранжа. Причём, в этом исследовании возможен не один голый эксперимент, а и обобщения с доказательством для случая двух и трёх квадратов. Остальное - в университетском курсе.
4.24 КБКоманда упрощает выражения до многочлена стандартного вида. Здесь она проверила тождество Рамануджана.
2.61 КБОстаток от деления одного многочлена на другой. С помощью этой команды можно провести с 10-классниками небольшое исследование. Начнём с задания: разложить (без компьютера!) на множители многочлен х5+х+1. Одним из множителей является многочлен х2+х+1. Зададимся вопросом: какие ещё многочлены имеют в своём разложении такой множитель? Меняя значения показателя степени старшего члена и набрав с помощью программы достаточно экспериментального материала, найдём гипотезу. Далее, её нетрудно будет доказать.
2.94 КБРазложение на множители многочленов для программы сущий пустяк, а для учителя с его учениками - простор для экспериментов и обобщений, какие возможны в данном примере.
13.65 КБИнтересный факт здесь наблюдается. Обычно многочлены типа хn-1 имеют все неприводимые в R множители с коэффициентами ±1. А здесь выскочила двойка!
3.38 КБВычисляется минимум функции. Причём, команда действует и для поиска экстремума функции двух переменных на данной области.
3.59 КБВ нашей программе предусмотрены команды для разложения на простейшие дроби и всякого рода другие операции с дробно-рациональными выражениями, с которыми повседневно сталкивается учитель.
3.09 КБИ даже уравнения с параметрами решаются.
Хочется демонстрировать возможности программы бесконечно, в стороне остались интересные примеры из анализа. Но и этих достаточно для того, чтобы утверждать: программу Mathematica стоит включить в арсенал МЛУ. Если кто-то из коллег её имеет, то можем поделиться своими наработками в ней. Предлагаю свой файл.